TUGAS KELOMPOK ANALISIS REAL

                  

NCD MTK DGM

 TUGAS KELOMPOK

ANALISIS REAL

                                 Di susun oleh: 1). Yonatan dogomo

                                                        

                                                     

Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Ikip Veteran Semarang

2.1. Sifat-sifat aljabar dari R

          2.2. Sifat-sifat urutan dari r

          2.3. Nilai mutlak

          2.4. Sifat kelengkapan dari R

          2.5. Aplikasih dari sifat supernum-infimum

1. Sifat Aljabar Bilangan Real

Pada himpunan bilangan real ℝ, terdapat dua operasi biner yang dilambangkan dengan + dan . dan berturut-turut disebut dengan penjumlahan dan perkalian. Operasi biner tersebut memiliki sifat sebagai berikut:

(A1) a + b = b + a untuk setiap a, b ∈ ℝ (komutatif terhadap penjumlahan)

(A2) (a + b) + c = a + (b + c) untuk setiap a, b, c ∈ ℝ (assosiatif terhadap perkalian)

(A3) Terdapat elemen 0  R sedemikian sehinggah 0 + a  = a untuk setiap a  R

(A4) Terdapat elemen –a  R sedemikian sehinggah –a + a = a +(-a) = 0 umtuk setiap a  R

Terhadap operasi perkalian:

(M1) a.b = b+a untuk setiap a,b,  R

(M2) (a.b).c = a.(b.c) untuk setiap a,b,c,  R

(M3) Terdapat elemen 1  R sedemikian 1.a = a.1 = a untuk setiap a

(M4) Terdapat elemen 1/a  R sedemikian sehinggah (1/a).a = a.(1/a) = 1 untuk setiap a  R

dan

D. a.(b.c) = a.b+c dan (b+c).a = b.a+c.a untuk setiapp a,b,c  R

Sifat A1 dan M1 mereupakan sifat komutatif, sifat A2 dan M2 merupakan sifat assosiatif, sifat A3 dan M3 mennunjukan aksistensi elemen invers, berturut-turut masing-masing terhadap operasi penjumlah dan perkalian atas penjumlahan. Yang terakhir, sifat D merupakan sifat distributive perkalian atas penjumlahan. Sifat A1-A4, M1-M4, dan D yang dipenuhi oleh semua elemen di R, menjadi R dipandang sebagai suatu lapangan.

Terkait dengan elemen identitas 0 (terhadap operasi penjumlahan) dan 1 (terhadap operasi perkalian), kita memiliki fakta bahwa kedua elemen ini merupakan elemen yang unik atau tunggal. Selain itu, perkalian setiap elemen di R dengan elemen 0. Fakta-fakta ini, secara formal matematis, dapat direpresentasikan teorema berikut ini.

Teorema 1.2

a.       Jika z.,a  R dan z + a = a maka z = 0.

b.      Jika u.b = b dengan u,b  dan juga b 0 maka u = 1.

c.       a.0 = untuk setiap a  R

Bukti:

a.       Berdasar sifat A3, A4, A2 dan hipotesis z + a = a, z = z + 0 = z+(a+(-a)) = (z

+a) + (-a) = a+(-a) = 0

b.      Berdasarkan sifat M1, M2, M3 dan hipotesis u.b = b,b 0, u = u . 1 = u.(b.(1/b)) = (u.b) . (1/b) . (u.b) (a/b) = b.(1/b) = a

Berdasarkan a., diperoleh bahwa a.0 = 0

Teorema: 2.2

a.       Jika a , b  R, a ≠0, dan a.b = maka b = 1/a

b.      Jika a . b = 0 maka a = 0 atau b = 0.

Bukti:

a.       Berdasarkan sifat M3, M4, M2, dan hipotesis a ≠ 0 dan a . b = 1

b = b. 1 = b. (a(1/a)) = (b.a). (1/a) = 1.(1/a) = 1/a.

b.      Andaikan a  0 dan b  0. Akibatnya, (a.b). (1/(a.b)) = 1. Berdasarkan hipotesis, yaitu a.b = 0 dan teorema 1.2.c., kita miliki bahwa (a.b) . (1/(a.b) = 0 (a.b)) = 0

Terjadi kontradiksi di sini, yaitu antara pertanyaan (a.b).(1/(a.b)) = 1 dan (a.b).(1/(a.b)  = 0 dengan demikian, haruslah bahwa a = 0 atau b = 0.